Площадь полной поверхности конуса равна 144. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее его высоту в отношении 1 : 3, считая от вершины. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

Высоты отсечённого и исходного конусов относятся как \(1:4\), поэтому все их линейные размеры относятся как \(1:4\), а площади — как \(1:16\). Обозначим площадь основания исходного конуса через \(B\), а боковую площадь — через \(L\). Из условия известно только, что \(B+L=144\).

У отсечённого конуса боковая площадь равна \(L/16\), а площадь основания — \(B/16\). Полная поверхность усечённого конуса включает боковую поверхность между сечениями, нижнее основание исходного конуса и верхнее сечение:

\(S=\left(L-\frac{L}{16}\right)+B+\frac{B}{16}=\frac{15}{16}L+\frac{17}{16}B=135+\frac{B}{8}\).

Площадь \(B\) из условия определить нельзя: одной суммы \(B+L=144\) недостаточно, чтобы найти отдельно площадь основания. Следовательно, площадь полной поверхности усечённого конуса однозначно не определяется.

Ответ: данных недостаточно; необходима дополнительная информация, например площадь основания исходного конуса или соотношение его радиуса и образующей.