Радиус основания прямого кругового конуса равен \(\sqrt{3}\), угол в осевом сечении равен 60°. Плоскость α проходит через вершину конуса и хорду основания, равную \(\sqrt{3}\). Найдите площадь сечения конуса плоскостью α.

Осевое сечение — равнобедренный треугольник с углом при вершине 60°, поэтому его половина — прямоугольный треугольник с углом 30°. Высота конуса равна \(h=\sqrt{3}/\tan 30^\circ=3\).

Расстояние от центра основания до хорды длины \(\sqrt{3}\):

\(d=\sqrt{r^2-(\sqrt{3}/2)^2}=\sqrt{3-3/4}=3/2\).

Высота треугольного сечения, проведённая от вершины конуса к хорде, равна \(\sqrt{h^2+d^2}=\sqrt{9+9/4}=3\sqrt{5}/2\). Тогда площадь сечения:

\(S=\frac12\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{3\sqrt{5}}2=\frac{3\sqrt{15}}4\).

Ответ: \(\frac{3\sqrt{15}}4\).