10. Площадь правильного восьмиугольника равна 200√2. Найдите радиус описанной окружности.

Площадь правильного восьмиугольника можно вычислить по формуле:

$$S = 2(1 + \sqrt{2})a^2$$

где a - сторона восьмиугольника.

Площадь правильного восьмиугольника равна 200√2. Следовательно:

$$2(1 + \sqrt{2})a^2 = 200\sqrt{2}$$ $$(1 + \sqrt{2})a^2 = 100\sqrt{2}$$ $$a^2 = \frac{100\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$$ $$a^2 = \frac{100\sqrt{2}( \sqrt{2} - 1)}{( \sqrt{2} + 1)( \sqrt{2} - 1)}$$ $$a^2 = \frac{100(2 - \sqrt{2})}{2 - 1}$$ $$a^2 = 100(2 - \sqrt{2})$$ $$a = 10\sqrt{2 - \sqrt{2}}$$

Радиус описанной окружности R правильного восьмиугольника связан со стороной a следующим образом:

$$R = \frac{a}{ \sqrt{2 - \sqrt{2}}}$$ $$R = \frac{10\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{ \sqrt{2 - \sqrt{2}}} = 10$$

Ответ: 10