3. Площадь прямоугольного треугольника равна \(\frac{578\sqrt{3}}{3}\). Один из ых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Пошаговое решение:

1. Пусть a и b — катеты прямоугольного треугольника. Площадь равна \(S = \frac{1}{2}ab\).
2. Один из углов равен 30°, тогда \(S = \frac{578\sqrt{3}}{3}\).
3. Пусть угол между катетом x и гипотенузой равен 30°. Тогда катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
4. Обозначим катеты как x и y. Тогда \(\frac{1}{2}xy = \frac{578\sqrt{3}}{3}\), следовательно, \(xy = \frac{1156\sqrt{3}}{3}\).
5. Также известно, что \(\tan 30° = \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{3}}{3}\), следовательно, \(y = \frac{x\sqrt{3}}{3}\).
6. Подставим y в уравнение для площади: \(x(\frac{x\sqrt{3}}{3}) = \frac{1156\sqrt{3}}{3}\).
7. \(x^2 = 1156\), значит, \(x = \sqrt{1156} = 34\).
8. Тогда \(y = \frac{34\sqrt{3}}{3}\).

Ответ: 34