4. Площадь прямоугольного треугольника равна 18√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

В прямоугольном треугольнике:

• $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты прямоугольного треугольника.
• $$a = c \cdot \cos{\alpha}$$, где $$c$$ - гипотенуза, $$\alpha$$ - прилежащий угол.
• $$b = c \cdot \sin{\alpha}$$, где $$c$$ - гипотенуза, $$\alpha$$ - прилежащий угол.

1. Выразим площадь через гипотенузу и угол: $$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \cos{60^\circ} \cdot c \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot c^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{c^2 \sqrt{3}}{8}$$.
2. Определим гипотенузу: $$\frac{c^2 \sqrt{3}}{8} = 18 \sqrt{3}$$, $$c^2 = \frac{18 \sqrt{3} \cdot 8}{\sqrt{3}} = 18 \cdot 8 = 144$$, $$c = \sqrt{144} = 12$$.
3. Определим длину прилежащего катета: $$a = c \cdot \cos{60^\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$$.

Ответ: 6