18. *Плоская льдина плавает в воде, выступая над уровнем воды на 3 см. Человек массой 70 кг зашел на льдину. В результате, высота выступающей части над льдиной уменьшилась в 3 раза. Найти площадь льдины.

Ответ: 23.3 м²

1. Обозначения:
   • \( m_{\text{чел}} \) - масса человека (70 кг);
   • \( \rho_{\text{воды}} \) - плотность воды (1000 кг/м³);
   • \( \rho_{\text{льда}} \) - плотность льда (900 кг/м³);
   • \( h_1 \) - высота выступающей части льдины до (0.03 м);
   • \( h_2 \) - высота выступающей части льдины после;
   • \( S \) - площадь льдины;
   • \( H \) - общая толщина льдины.
2. До того, как человек зашёл на льдину, выполняется условие плавания: \[\rho_{\text{льда}} \cdot g \cdot S \cdot H = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot S \cdot (H - h_1)\] \[\rho_{\text{льда}} \cdot H = \rho_{\text{воды}} \cdot (H - h_1)\] \[\rho_{\text{льда}} \cdot H = \rho_{\text{воды}} \cdot H - \rho_{\text{воды}} \cdot h_1\] \[H \cdot (\rho_{\text{воды}} - \rho_{\text{льда}}) = \rho_{\text{воды}} \cdot h_1\] \[H = \frac{\rho_{\text{воды}} \cdot h_1}{\rho_{\text{воды}} - \rho_{\text{льда}}} = \frac{1000 \cdot 0.03}{1000 - 900} = \frac{30}{100} = 0.3 \,\text{м}\]
3. После того, как человек зашел на льдину, высота выступающей части уменьшилась в 3 раза, то есть стала \( h_2 = \frac{h_1}{3} = \frac{0.03}{3} = 0.01 \,\text{м} \).
4. Запишем условие плавания льдины с человеком: \[(\rho_{\text{льда}} \cdot S \cdot H + m_{\text{чел}}) \cdot g = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot S \cdot (H - h_2)\] \[\rho_{\text{льда}} \cdot S \cdot H + m_{\text{чел}} = \rho_{\text{воды}} \cdot S \cdot (H - h_2)\] \[S \cdot (\rho_{\text{воды}} \cdot (H - h_2) - \rho_{\text{льда}} \cdot H) = m_{\text{чел}}\] \[S = \frac{m_{\text{чел}}}{\rho_{\text{воды}} \cdot (H - h_2) - \rho_{\text{льда}} \cdot H} = \frac{70}{1000 \cdot (0.3 - 0.01) - 900 \cdot 0.3} = \frac{70}{1000 \cdot 0.29 - 270} = \frac{70}{290 - 270} = \frac{70}{20} = 3.5 \,\text{м}^2\]

Ответ: 3.5 м²