2. Плоскости равнобедренных треугольников ABD и ABC с общим основанием перпендикулярны. Найдите CD, если AD=$$\sqrt{31}$$ см, AB=6 см, $$\angle ACB=45^{\circ}$$.

Поскольку плоскости ABD и ABC перпендикулярны, то высота треугольника ABD, проведенная к основанию AB, будет перпендикулярна плоскости ABC. Пусть DH - высота треугольника ABD. Тогда DH перпендикулярна AB и, следовательно, DH перпендикулярна плоскости ABC. В треугольнике ABD имеем AD = $$\sqrt{31}$$ и AB = 6. Поскольку треугольник равнобедренный, то BD = AD = $$\sqrt{31}$$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника AHD (AH = AB/2 = 3): DH = $$\sqrt{AD^2 - AH^2}$$ = $$\sqrt{31 - 9}$$ = $$\sqrt{22}$$. В треугольнике ABC имеем AB = 6 и $$\angle ACB=45^{\circ}$$. Поскольку треугольник равнобедренный, то AC = BC. По теореме синусов: $$\frac{AB}{\sin(45^{\circ})} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$$. Поскольку $$\angle BAC = \angle ABC = (180^{\circ} - 45^{\circ})/2 = 67.5^{\circ}$$, то $$AC = \frac{AB \cdot \sin(67.5^{\circ})}{\sin(45^{\circ})} = \frac{6 \cdot \sin(67.5^{\circ})}{\sin(45^{\circ})}$$. Поскольку $$\angle ACB=45^{\circ}$$ и AC=BC, то по теореме косинусов $$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2*AC*BC*cos(45)$$, $$36 = 2AC^2 - 2AC^2*(\sqrt{2}/2)$$, $$36 = AC^2(2-\sqrt{2})$$. Отсюда $$AC^2 = 36/(2-\sqrt{2})$$, AC = $$\sqrt{36/(2-\sqrt{2})}$$. AC = $$3\sqrt{2(2+\sqrt{2})}$$. Пусть CH - высота треугольника ABC, проведенная к основанию AB. Тогда CH = AC*sin(67.5)=$$\frac{AB}{2tan(22.5)} = \frac{6}{2tan(22.5)} = \frac{3}{tan(22.5)}$$.\approx7.24 Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник DHC, где DH = $$\sqrt{22}$$ и CH = $$3\sqrt{2(2+\sqrt{2})}$$. Тогда CD = $$\sqrt{DH^2 + CH^2} = \sqrt{22 + (3\sqrt{2(2+\sqrt{2})})^2} = \sqrt{22 + 9*2*(2+\sqrt{2})} = \sqrt{22+36+18\sqrt{2}} = \sqrt{58+18\sqrt{2}} \approx 9.14$$. Ответ: **CD = $$\sqrt{58+18\sqrt{2}}$$ см**.