По данным на рисунке найдите ОК, если OM = 14.

Решение:

На рисунке показан центральный угол \(\angle\) MON = 120°.

Треугольник MON является равнобедренным, так как OM и ON — радиусы окружности.

\(\angle\) OMN = \(\angle\) ONM = \(\frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2}\) = \(\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30^{\(\circ\)}.

OK — высота треугольника MON, проведённая к основанию MN. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой.

В прямоугольном треугольнике OMK:

\(\angle\) MOK = \(\frac{1}{2}\) \(\angle\) MON = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 120^{\(\circ\)} = 60^{\(\circ\)}.

\(\angle\) OMK = 30^{\(\circ\)}.

Используем тригонометрию в прямоугольном треугольнике OMK:

\( \cos(\angle OMK) = \frac{MK}{OM} \)

\( \cos(30^{\circ}) = \frac{MK}{14} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{MK}{14} \)

\( MK = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3} \)

\( \sin(\angle OMK) = \frac{OK}{OM} \)

\( \sin(30^{\circ}) = \frac{OK}{14} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{OK}{14} \)

\( OK = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7 \)

Ответ: 7.