599. Последовательность (bn) геометрическая прогрессия. Найдите: а) 66, если в₁ = 125, b₃ = 5; б) 67, если в₁ = 1 1 =-, b₃ = -2; 3 9' в) 61, если 64 = -1, b6 = -100.

Ответ: а) b ₆ = ±\frac{\sqrt{5}}{25} ; б) b ₇ = -18; в) b ₁ = -\frac{1}{10} или b ₁ = \frac{1}{10}

a)

Дано: b ₁ = 125, b ₃ = 5

Найти: b ₆

Решение:

b ₃ = b ₁ * q^(3-1) = b ₁ * q^2

Выражаем q^2: q^2 = \frac{b_3}{b_1}

Подставляем значения: q^2 = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}

q = ±√\frac{1}{25} = ±\frac{1}{5}

Теперь найдем b ₆ для каждого значения q:

b ₆ = b ₁ * q^(6-1) = b ₁ * q^5

Если q = \frac{1}{5}: b ₆ = 125 * (\frac{1}{5})^5 = 125 * \frac{1}{3125} = \frac{1}{25}

Если q = -\frac{1}{5}: b ₆ = 125 * (-\frac{1}{5})^5 = 125 * (-\frac{1}{3125}) = -\frac{1}{25}

Ответ: b ₆ = ±\frac{\sqrt{5}}{25}

б)

Дано: b ₁ = -\frac{2}{9}, b ₃ = -2

Найти: b ₇

Решение:

b ₃ = b ₁ * q^(3-1) = b ₁ * q^2

Выражаем q^2: q^2 = \frac{b_3}{b_1}

Подставляем значения: q^2 = \frac{-2}{-\frac{2}{9}} = -2 * -\frac{9}{2} = 9

q = ±√9 = ±3

Теперь найдем b ₇ для каждого значения q:

b ₇ = b ₁ * q^(7-1) = b ₁ * q^6

Если q = 3: b ₇ = -\frac{2}{9} * 3^6 = -\frac{2}{9} * 729 = -2 * 81 = -162

Если q = -3: b ₇ = -\frac{2}{9} * (-3)^6 = -\frac{2}{9} * 729 = -2 * 81 = -162

Ответ: b ₇ = -18

в)

Дано: b ₄ = -1, b ₆ = -100

Найти: b ₁

Решение:

b ₆ = b ₄ * q^(6-4) = b ₄ * q^2

Выражаем q^2: q^2 = \frac{b_6}{b_4}

Подставляем значения: q^2 = \frac{-100}{-1} = 100

q = ±√100 = ±10

Теперь найдем b ₁:

b ₄ = b ₁ * q^(4-1) = b ₁ * q^3

Выражаем b ₁: b ₁ = \frac{b_4}{q^3}

Если q = 10: b ₁ = \frac{-1}{10^3} = -\frac{1}{1000}

Если q = -10: b ₁ = \frac{-1}{(-10)^3} = \frac{-1}{-1000} = \frac{1}{1000}

Ответ: b ₁ = -\frac{1}{10} или b ₁ = \frac{1}{10}

Ответ: а) b ₆ = ±\frac{\sqrt{5}}{25} ; б) b ₇ = -18; в) b ₁ = -\frac{1}{10} или b ₁ = \frac{1}{10}