Поставь вместо звёздочек пропущенные цифры:

Решение:

Мы имеем пример сложения:

\( \begin{array}{@{}c@{\;}c@{}c@{}c@{}c} & * & 7 & 5 & * \\ + & & * & 4 & 5 \\ \hline & * & * & * & * \end{array} \)

Начнём с последней цифры (единицы). \( * + 5 \) должно оканчиваться на \( * \). Если предположить, что \( * + 5 \) не даёт переноса в десятки, то \( * \) может быть 0, 1, 2, 3, 4. Если \( * + 5 \) даёт перенос, то \( * \) может быть 5, 6, 7, 8, 9.

Рассмотрим колонку десятков: \( 5 + 4 + \text{перенос из единиц} \) должно оканчиваться на \( * \).

Рассмотрим колонку сотен: \( 7 + * + \text{перенос из десятков} \) должно оканчиваться на \( * \).

Рассмотрим колонку тысяч: \( * + \text{перенос из сотен} \) должно оканчиваться на \( * \).

Попробуем подставить цифры:

Заметим, что последняя цифра суммы (единицы) определяется как \( \text{последняя цифра } (\text{звёздочка} + 5) \). Пусть это будет \( S_1 \). Перенос в десятки \( C_1 \).

Вторая цифра суммы (десятки): \( 5 + 4 + C_1 \) оканчивается на \( S_2 \). Перенос в сотни \( C_2 \).

Третья цифра суммы (сотни): \( 7 + \text{звёздочка} + C_2 \) оканчивается на \( S_3 \). Перенос в тысячи \( C_3 \).

Четвёртая цифра суммы (тысячи): \( \text{звёздочка} + C_3 \) оканчивается на \( S_4 \).

Попробуем предположить, что нижняя звёздочка — это 0:

\( \begin{array}{@{}c@{\;}c@{}c@{}c@{}c} & * & 7 & 5 & * \\ + & & 0 & 4 & 5 \\ \hline & * & * & * & * \end{array} \)

Если последняя звёздочка — 0:

\( \begin{array}{@{}c@{\;}c@{}c@{}c@{}c} & * & 7 & 5 & 0 \\ + & & 0 & 4 & 5 \\ \hline & * & 8 & 0 & 5 \end{array} \)

\( 5 + 0 = 5 \) (единицы)

\( 5 + 4 = 9 \) (десятки). Получилось 8, значит, не подходит.

Если предположить, что в сумме единиц происходит перенос:

\( \begin{array}{@{}c@{\;}c@{}c@{}c@{}c} & * & 7 & 5 & 8 \\ + & & 0 & 4 & 5 \\ \hline & & & & 3 \end{array} \)

\( 8 + 5 = 13 \) (3, перенос 1)

\( 5 + 4 + 1 = 10 \) (0, перенос 1)

\( 7 + 0 + 1 = 8 \) (8)

\( * + 0 = * \). Значит, первая звёздочка — это 0.

\( \begin{array}{@{}c@{\;}c@{}c@{}c@{}c} & 0 & 7 & 5 & 8 \\ + & & 0 & 4 & 5 \\ \hline & & 8 & 0 & 5 \end{array} \)

Проверим:

\( 758 + 45 = 803 \)

Ой, здесь ошибка в рассуждении. Давайте заново.

\( \begin{array}{@{}c@{\;}c@{}c@{}c@{}c} & \mathbf{A} & 7 & 5 & \mathbf{B} \\ + & & \mathbf{C} & 4 & 5 \\ \hline & \mathbf{D} & \mathbf{E} & * & * \end{array} \)

1. \( B + 5 \) оканчивается на последнюю звёздочку. Пусть последняя звёздочка будет \( S_1 \). Возможен перенос \( C_1 \).

2. \( 5 + 4 + C_1 \) оканчивается на звёздочку \( S_2 \). Возможен перенос \( C_2 \).

3. \( 7 + C + C_2 \) оканчивается на звёздочку \( S_3 \). Возможен перенос \( C_3 \).

4. \( A + 0 + C_3 \) оканчивается на звёздочку \( S_4 \).

Поскольку сумма является трёхзначным числом (судя по последнему ряду), \( D \) равно 0.

\( A + C_3 = S_4 \). Так как \( A \) — цифра, \( C_3 \) — перенос (0 или 1), \( S_4 \) — цифра. Если \( C_3 = 0 \), то \( A = S_4 \). Если \( C_3 = 1 \), то \( A + 1 = S_4 \).

Рассмотрим пример:

\( \begin{array}{@{}c@{\;}c@{}c@{}c@{}c} & 9 & 7 & 5 & 8 \\ + & & 0 & 4 & 5 \\ \hline & 1 & 0 & 2 & 3 \end{array} \)

\( 8 + 5 = 13 \) (3, перенос 1)

\( 5 + 4 + 1 = 10 \) (0, перенос 1)

\( 7 + 0 + 1 = 8 \) (8)

\( 9 + 0 = 9 \).

Получаем \( 9803 \) вместо \( 1023 \). Проверим ещё.

\( \begin{array}{@{}c@{\;}c@{}c@{}c@{}c} & \mathbf{7} & 7 & 5 & \mathbf{8} \\ + & & \mathbf{0} & 4 & 5 \\ \hline & & \mathbf{8} & 0 & \mathbf{3} \end{array} \)

\( 8 + 5 = 13 \) (3, перенос 1)

\( 5 + 4 + 1 = 10 \) (0, перенос 1)

\( 7 + 0 + 1 = 8 \) (8)

\( 7 \) (первая цифра)

\( 758 + 45 = 803 \). Это неверно, должно быть \( 803 \).

Попробуем с другим числом:

\( \begin{array}{@{}c@{\;}c@{}c@{}c@{}c} & \mathbf{9} & 7 & 5 & \mathbf{9} \\ + & & \mathbf{1} & 4 & 5 \\ \hline & 9 & 9 & 0 & 4 \end{array} \)

\( 9 + 5 = 14 \) (4, перенос 1)

\( 5 + 4 + 1 = 10 \) (0, перенос 1)

\( 7 + 1 + 1 = 9 \) (9)

\( 9 + 0 = 9 \) (9)

\( 9759 + 145 = 9904 \)

Это подходит! Цифры: \( \boxed{9} \mathbf{7} \mathbf{5} \boxed{9} \) + \( \mathbf{0} \boxed{1} \mathbf{4} \mathbf{5} = \boxed{9} \boxed{9} \boxed{9} \boxed{0} \boxed{4} \)

Ответ:

\( \begin{array}{@{}c@{\;}c@{}c@{}c@{}c} & \mathbf{9} & 7 & 5 & \mathbf{9} \\ + & & \mathbf{1} & 4 & 5 \\ \hline & \mathbf{9} & \mathbf{9} & 0 & 4 \end{array} \)