Построй математическую модель и реши задачу методом перебора: «Задумано двузначное число, которое на 73 больше произведения его цифр. Какое число задумано?»

Решение:

Пусть двузначное число состоит из цифр \( a \) (десятки) и \( b \) (единицы). Число можно представить как \( 10a + b \).

Произведение цифр равно \( a \cdot b \).

По условию задачи, число на 73 больше произведения его цифр:

\( 10a + b = a \cdot b + 73 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 10a + b - ab - 73 = 0 \)

Попробуем подобрать значения \( a \) и \( b \) (где \( a \) — цифра от 1 до 9, \( b \) — цифра от 0 до 9).

Для начала, выразим \( b \) через \( a \):

\( b - ab = 73 - 10a \)

\( b(1 - a) = 73 - 10a \)

\( b = \frac{73 - 10a}{1 - a} = \frac{10a - 73}{a - 1} \)

Теперь будем подставлять возможные значения \( a \) (от 1 до 9) и проверять, будет ли \( b \) целой цифрой от 0 до 9.

• Если \( a = 1 \), знаменатель равен 0, деление невозможно.
• Если \( a = 2 \), \( b = \frac{10 \cdot 2 - 73}{2 - 1} = \frac{20 - 73}{1} = -53 \) (не подходит, так как \( b \) должно быть положительным).
• Если \( a = 3 \), \( b = \frac{10 \cdot 3 - 73}{3 - 1} = \frac{30 - 73}{2} = \frac{-43}{2} \) (не подходит).
• Если \( a = 4 \), \( b = \frac{10 \cdot 4 - 73}{4 - 1} = \frac{40 - 73}{3} = \frac{-33}{3} = -11 \) (не подходит).
• Если \( a = 5 \), \( b = \frac{10 \cdot 5 - 73}{5 - 1} = \frac{50 - 73}{4} = \frac{-23}{4} \) (не подходит).
• Если \( a = 6 \), \( b = \frac{10 \cdot 6 - 73}{6 - 1} = \frac{60 - 73}{5} = \frac{-13}{5} \) (не подходит).
• Если \( a = 7 \), \( b = \frac{10 \cdot 7 - 73}{7 - 1} = \frac{70 - 73}{6} = \frac{-3}{6} = -0.5 \) (не подходит).
• Если \( a = 8 \), \( b = \frac{10 \cdot 8 - 73}{8 - 1} = \frac{80 - 73}{7} = \frac{7}{7} = 1 \). \( a = 8, b = 1 \). Число: \( 10 \cdot 8 + 1 = 81 \). Произведение цифр: \( 8 \cdot 1 = 8 \). Проверка: \( 81 = 8 + 73 \) (верно).
• Если \( a = 9 \), \( b = \frac{10 \cdot 9 - 73}{9 - 1} = \frac{90 - 73}{8} = \frac{17}{8} \) (не подходит).

Единственное найденное число — 81.

Ответ: 81.