700. Построить график функции у = -x² - 8x + 12 и определить, на 2 каком промежутке эта функция возрастает.

Функция $$y = -x^2 - 8x + 12$$ является квадратичной функцией. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный.

Найдем вершину параболы:

$$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-8}{-2} = -4$$

$$y_в = -(-4)^2 - 8 \cdot (-4) + 12 = -16 + 32 + 12 = 28$$

Вершина параболы находится в точке $$(-4; 28)$$.

Функция возрастает на промежутке от $$-\infty$$ до вершины параболы. То есть, функция возрастает на промежутке от $$-\infty$$ до $$-4$$.

Найдем точки пересечения с осью Ox:

$$y = 0 \Rightarrow -x^2 - 8x + 12 = 0$$

$$x^2 + 8x - 12 = 0$$

$$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64 + 48 = 112$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{112}}{2} = \frac{-8 + 4\sqrt{7}}{2} = -4 + 2\sqrt{7} \approx 1.29$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{112}}{2} = \frac{-8 - 4\sqrt{7}}{2} = -4 - 2\sqrt{7} \approx -9.29$$

Функция пересекает ось Ox в точках $$(-4 - 2\sqrt{7}; 0)$$ и $$(-4 + 2\sqrt{7}; 0)$$.

Построим график функции.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $$(-\infty; -4)$$.