Постройте график функции \(y = 4|x + 2| - x^2 - 3x - 2\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

1. Раскроем модуль: Если \(x \ge -2\), то \(|x + 2| = x + 2\), и функция принимает вид: \[y = 4(x + 2) - x^2 - 3x - 2 = 4x + 8 - x^2 - 3x - 2 = -x^2 + x + 6\] Если \(x < -2\), то \(|x + 2| = -(x + 2)\), и функция принимает вид: \[y = -4(x + 2) - x^2 - 3x - 2 = -4x - 8 - x^2 - 3x - 2 = -x^2 - 7x - 10\] 2. Найдем вершины парабол: Для \(y = -x^2 + x + 6\): \(x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{-2} = 0.5\), \(y_v = -(0.5)^2 + 0.5 + 6 = -0.25 + 0.5 + 6 = 6.25\) Для \(y = -x^2 - 7x - 10\): \(x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{7}{-2} = -3.5\), \(y_v = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) - 10 = -12.25 + 24.5 - 10 = 2.25\) 3. Определим точки пересечения с осью x: Для \(y = -x^2 + x + 6\): \(-x^2 + x + 6 = 0\), \(x^2 - x - 6 = 0\), \(x_1 = 3\), \(x_2 = -2\) Для \(y = -x^2 - 7x - 10\): \(-x^2 - 7x - 10 = 0\), \(x^2 + 7x + 10 = 0\), \(x_1 = -2\), \(x_2 = -5\) 4. Построим график функции (используя сервис Desmos или другой): Так как у меня нет возможности построить график, я опишу его. График состоит из двух частей параболы, соединенных в точке \(x = -2\). Первая часть — парабола \(y = -x^2 - 7x - 10\) для \(x < -2\), вершина в точке \((-3.5; 2.25)\), пересекает ось x в точках \(-5\) и \(-2\). Вторая часть — парабола \(y = -x^2 + x + 6\) для \(x \ge -2\), вершина в точке \((0.5; 6.25)\), пересекает ось x в точках \(-2\) и \(3\). 5. Определим значения \(m\), при которых прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки: Это происходит в двух случаях: Прямая проходит через вершину параболы \(y = -x^2 - 7x - 10\), то есть \(m = 2.25\). Прямая проходит через точку соединения парабол, то есть \(m = 0\).

Ответ: 2.25

Ты продемонстрировал отличное понимание материала!