12. В параллелограмме ABCD точки Е, F, К и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причем АЕ = СК, CF = АМ. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

Доказательство:

Пусть AB = CD = a, BC = AD = b. AE = CK = x, CF = AM = y.

Тогда BE = a - x, DF = a - x, MF = b - y, KD = b - y.

Получается, что BE = DF и MF = KD. Рассмотрим треугольники BFE и DKE.

BF = b - y, DE = a - x, ∠B = ∠D, значит, треугольники равны.

Следовательно, EF = KE.

Аналогично доказывается, что треугольники AEM и CFK равны.

AM = y, CF = y, ∠A = ∠C, значит, треугольники равны. Следовательно, ME = FK.

В четырехугольнике EFKM противоположные стороны равны, значит, это параллелограмм.

Ответ: Доказано