Постройте график функции \( f(x) = \{\(\begin{array}{l}\) x^2-6x+13, \(\text{если }\) x \(\ge\) 2 \\ 2,5x, \(\text{если }\) x < 2 \(\end{array}\)\}. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Рассмотрим функцию \( f(x) \) по частям:

1. При \( x \ge 2 \), \( f(x) = x^2 - 6x + 13 \). Это часть параболы ветвями вверх. Вершина параболы \( y = x^2 - 6x + 13 \) находится в точке \( x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \). При \( x = 3 \), \( y = 3^2 - 6 \cdot 3 + 13 = 9 - 18 + 13 = 4 \). При \( x = 2 \), \( y = 2^2 - 6 \cdot 2 + 13 = 4 - 12 + 13 = 5 \).
2. При \( x < 2 \), \( f(x) = 2.5x \). Это луч, исходящий из точки \( x = 2 \). При \( x = 2 \), \( y = 2.5 \cdot 2 = 5 \). При \( x = 0 \), \( y = 0 \).

График функции состоит из:

• Луча \( y = 2.5x \) для \( x < 2 \), который проходит через начало координат и поднимается до точки (2, 5).
• Части параболы \( y = x^2 - 6x + 13 \) для \( x \ge 2 \), которая начинается в точке (2, 5) и имеет вершину в (3, 4), а затем поднимается.

Прямая \( y = m \) имеет две общие точки с графиком, когда она проходит через:

• Вершину параболы, если вершина находится в области \( x > 2 \). Вершина параболы находится в \( x = 3 \), \( y = 4 \). В этом случае одна точка — вершина, а другая — на луче \( y = 2.5x \) (если \( 2.5x = 4 \), то \( x = 1.6 < 2 \), но эта точка не является второй точкой пересечения с параболой).
• Значение \( m \) должно быть больше значения вершины параболы, но меньше значения функции в точке \( x = 2 \).

Прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки, если она проходит ниже точки \( x=2 \) на параболе (т.е. \( y > 4 \)) и пересекает луч \( y = 2.5x \) (т.е. \( m > 0 \)), и также пересекает часть параболы \( y = x^2-6x+13 \).

Для двух пересечений, \( m \) должно быть больше значения вершины (4), но меньше значения в точке \( x=2 \) (5).

Ответ: \( m \in (4; 5) \).