При каких значениях m прямая y = m имеет две общие точки с графиком функции \( f(x) = \{\(\begin{array}{l}\) x^2-4x-1, \(\text{если }\) x \(\ge\) 4 \\ -x^2+4x-1, \(\text{если }\) x < 4 \(\end{array}\)\}?

Решение:

Рассмотрим функцию \( f(x) \) по частям:

1. При \( x \ge 4 \), \( f(x) = x^2 - 4x - 1 \). Это часть параболы ветвями вверх. Вершина параболы \( y = x^2 - 4x - 1 \) находится в точке \( x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \). Но нас интересует только часть при \( x \ge 4 \). При \( x = 4 \), \( y = 4^2 - 4 \cdot 4 - 1 = 16 - 16 - 1 = -1 \). При \( x = 5 \), \( y = 5^2 - 4 \cdot 5 - 1 = 25 - 20 - 1 = 4 \). Эта часть функции возрастает.
2. При \( x < 4 \), \( f(x) = -x^2 + 4x - 1 \). Это часть параболы ветвями вниз. Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2 \). При \( x = 2 \), \( y = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 1 = -4 + 8 - 1 = 3 \). При \( x = 4 \), \( y = -(4)^2 + 4 \cdot 4 - 1 = -16 + 16 - 1 = -1 \). При \( x = 0 \), \( y = -0^2 + 4 \cdot 0 - 1 = -1 \).

График функции состоит из:

• Части параболы \( y = -x^2 + 4x - 1 \) для \( x < 4 \), которая поднимается до вершины (2, 3) и затем опускается до точки (4, -1).
• Части параболы \( y = x^2 - 4x - 1 \) для \( x \ge 4 \), которая начинается в точке (4, -1) и уходит вверх.

Прямая \( y = m \) имеет две общие точки с графиком, если она проходит через:

• Вершину параболы \( y = -x^2 + 4x - 1 \), то есть \( m = 3 \). В этом случае одна точка — вершина, а другая — на части графика \( y = x^2 - 4x - 1 \) (так как \( y = 3 \) при \( x=2+\sqrt{10} \) или \( x=2-\sqrt{10} \), а \( 2+\sqrt{10} > 4 \)).
• Значение \( m \) меньше 3, но больше или равно -1. Например, если \( m = 0 \), то \( -x^2+4x-1 = 0 \) имеет два корня, и \( x^2-4x-1 = 0 \) имеет один корень \( x=2+\sqrt{5} > 4 \).
• Если \( m = -1 \), то \( y = -1 \) является касательной к \( y = -x^2+4x-1 \) в точке \( x=4 \) (но она не включается) и пересекает \( y = x^2-4x-1 \) в точке \( x=4 \).

Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно две общие точки, она должна быть либо горизонтальной линией, проходящей через вершину второй параболы (m=3), либо линией, находящейся между значением вершины и значением функции при \( x=4 \).

При \( m = 3 \), прямая \( y=3 \) пересекает \( y = -x^2+4x-1 \) в точке \( x=2 \) (вершина) и в другой точке \( x=2 \). Также пересекает \( y = x^2-4x-1 \) в точке \( x=2+\sqrt{10} \) (так как \( (2+\sqrt{10})^2 - 4(2+\sqrt{10}) - 1 = 4 + 4\sqrt{10} + 10 - 8 - 4\sqrt{10} - 1 = 5 \)).

При \( m=-1 \), прямая \( y=-1 \) пересекает \( y = -x^2+4x-1 \) в точках \( x=0 \) и \( x=4 \). Она также пересекает \( y = x^2-4x-1 \) в точке \( x=4 \).

Чтобы было ровно две общие точки, \( m \) должно быть больше значения в точке \( x=4 \) (которое равно -1), но меньше значения вершины (которое равно 3).

Ответ: \( m \in (-1; 3) \).