3. Постройте график функции f(x) = x²-2x8. Используя график, найдите: 1) область значений функции; 2) промежуток возрастания функции; 3) множество решений неравенства / (x) < 0.

Дана функция $$f(x) = x^2 - 2x - 8$$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

Найдем вершину параболы: $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$$.

$$y_v = f(x_v) = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$$.

Вершина параболы: (1; -9).

Найдем нули функции: $$x^2 - 2x - 8 = 0$$.

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 2$$

$$x_1 \cdot x_2 = -8$$

$$x_1 = -2, x_2 = 4$$

Нули функции: x = -2 и x = 4.

Теперь можем схематично построить график:

        |
        |
       *|*
      * | *
     *  |  *
----*--V--*---->
   *   |   *
  *    |    *
 *     |     *
       -9

1) Область значений функции: $$E(f) = [-9; +\infty)$$.

2) Промежуток возрастания функции: $$(1; +\infty)$$.

3) Множество решений неравенства f(x) < 0: $$(-2; 4)$$.

Ответ: 1) [-9; +∞); 2) (1; +∞); 3) (-2; 4).