22. Постройте график функции у=- \frac{3x-5}{3x²-5x} и определите, при каких зна- ниях к прямая укх имеет с графиком ровно одну общую точку.

Преобразуем функцию:

$$y = \frac{3x-5}{3x^2-5x} = \frac{3x-5}{x(3x-5)}$$

При $$x
eq \frac{5}{3}$$ и $$x
eq 0$$:

$$y = \frac{1}{x}$$

Прямая $$y=kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если:

• Она проходит через выколотую точку $$\left(\frac{5}{3}; \frac{3}{5}\right)$$, тогда $$k = \frac{y}{x} = \frac{3/5}{5/3} = \frac{9}{25}$$.
• Прямая $$y=kx$$ касается графика $$y=\frac{1}{x}$$, то есть уравнение $$kx=\frac{1}{x}$$ имеет одно решение.

$$kx^2 = 1$$

$$x^2 = \frac{1}{k}$$

Если $$k>0$$, то $$x=\pm \sqrt{\frac{1}{k}}$$, два решения.

Если $$k<0$$, то решений нет.

Если $$k=0$$, то $$y=0$$ и $$y=\frac{1}{x}$$. Пересечений нет.

Но нужно учесть, что при $$x=0$$ функция не определена.

Рассмотрим случай, когда прямая $$y=kx$$ проходит через точку $$x=0$$, тогда пересечений нет.

Прямая $$y=kx$$ касается графика, если уравнение $$kx=\frac{1}{x}$$ имеет один корень. Но при $$x=\frac{5}{3}$$ значение функции не определено, поэтому проверим:

$$y=kx$$

$$y = \frac{1}{x}$$

$$kx = \frac{1}{x}$$

$$kx^2 = 1$$

$$k \left(\frac{5}{3}\right)^2 = 1$$

$$k \cdot \frac{25}{9} = 1$$

$$k = \frac{9}{25}$$

Если прямая проходит через точку $$x=0$$, то $$\frac{1}{x}$$ не имеет смысла.

Проверим случай, когда $$x \to \infty$$

$$k=0$$

$$y=0$$

Значит прямая $$y=0$$ имеет одну общую точку с графиком.

Ответ: k = 0, k = 9/25