22. Постройте график функции у = \frac{(x²+1)(x-2)}{2-x}. Определите, при каких значениях k прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Преобразуем функцию:

$$y = \frac{(x^2+1)(x-2)}{2-x} = -\frac{(x^2+1)(2-x)}{2-x}$$

Сократим дробь (при $$x
e 2$$):

$$y = -(x^2 + 1) = -x^2 - 1$$

Таким образом, графиком является парабола $$y = -x^2 - 1$$ с выколотой точкой (2;-5).

Прямая $$y = kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если уравнение $$-x^2 - 1 = kx$$ имеет единственный корень.

$$x^2 + kx + 1 = 0$$

$$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = k^2 - 4$$

Уравнение имеет единственный корень, если дискриминант равен нулю:

$$k^2 - 4 = 0$$

$$k^2 = 4$$

$$k = \pm 2$$

Кроме того, прямая может проходить через выколотую точку (2;-5):

$$-5 = k \cdot 2$$

$$k = -\frac{5}{2} = -2.5$$

Ответ: k = 2, k = -2, k = -2.5