24. Сторона ВС параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка К — середина стороны ВС. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.

Пусть CD = x, тогда BC = 2x. Так как K - середина BC, то BK = KC = x.

Т.к. ABCD - параллелограмм, то AB = CD = x и AD = BC = 2x.

Рассмотрим треугольник ABK. В нем AB = BK = x. Значит, треугольник ABK - равнобедренный.

Рассмотрим треугольник ADK. В нем AD = 2x и AK - общая сторона. Нужно доказать, что углы ADK и KDC равны.

Т.к. ABCD - параллелограмм, то \(\angle\) BAD + \(\angle\) ADC = 180°.

Т.к. треугольник ABK - равнобедренный, то \(\angle\) BAK = \(\angle\) BKA.

В трапеции ABCD AB || CD, следовательно углы CDA и BAD - односторонние, и их сумма равна 180°.

По условию, сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC, следовательно, BK=KC=CD=x.

Следовательно, AB=BK, значит, треугольник ABK – равнобедренный, углы при его основании равны.

Ответ: Доказано.