Постройте график функции у = \frac{6x+7}{6x^2+7x} и определите, при каких значениях k прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Сначала упростим функцию: \[y = \frac{6x + 7}{6x^2 + 7x} = \frac{6x + 7}{x(6x + 7)}\] Если \(6x + 7
eq 0\), то можно сократить дробь: \[y = \frac{1}{x}\] Однако, нужно учесть, что при \(6x + 7 = 0\), т.е. \(x = -\frac{7}{6}\), функция не определена. Таким образом, график функции \(y = \frac{6x + 7}{6x^2 + 7x}\) совпадает с графиком функции \(y = \frac{1}{x}\), за исключением точки \(x = -\frac{7}{6}\). Теперь определим, при каких значениях \(k\) прямая \(y = kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку. Для этого нужно решить уравнение: \[\frac{1}{x} = kx\] \[kx^2 = 1\] \[x^2 = \frac{1}{k}\] Если \(k > 0\), то \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{k}}\). В этом случае прямая \(y = kx\) имеет две общие точки с графиком функции \(y = \frac{1}{x}\). Если \(k < 0\), то уравнение \(x^2 = \frac{1}{k}\) не имеет решений, и прямая \(y = kx\) не пересекает график функции \(y = \frac{1}{x}\). Однако, нужно учесть точку \(x = -\frac{7}{6}\), где функция не определена. Если прямая \(y = kx\) проходит через эту точку, то она может иметь с графиком ровно одну общую точку. Подставим \(x = -\frac{7}{6}\) в уравнение прямой: \[y = k \cdot \left(-\frac{7}{6}\right)\] Так как на графике \(y = \frac{1}{x}\), то \[y = \frac{1}{-\frac{7}{6}} = -\frac{6}{7}\] \[-\frac{6}{7} = k \cdot \left(-\frac{7}{6}\right)\] \[k = \frac{-\frac{6}{7}}{-\frac{7}{6}} = \frac{6}{7} \cdot \frac{6}{7} = \frac{36}{49}\] Таким образом, прямая \(y = kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку, когда \(k = \frac{36}{49}\). Также, если \(k=0\) то прямая \(y = 0\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: k = 36/49, k = 0

Проверка за 10 секунд: Убедимся, что прямая y = kx с найденными значениями k имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

Уровень Эксперт: Не забывайте учитывать особенности функций, такие как точки разрыва.