3. Постройте график функции у = –х² - 6х + 7.С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Дана функция $$y = -x^2 - 6x + 7$$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы:

$$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -3$$

$$y_в = -(-3)^2 - 6 \cdot (-3) + 7 = -9 + 18 + 7 = 16$$

Вершина параболы: (-3; 16)

Найдем нули функции:

$$-x^2 - 6x + 7 = 0$$

$$x^2 + 6x - 7 = 0$$

$$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$

$$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 + 8}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 - 8}{2} = -7$$

Нули функции: x = 1 и x = -7

а) Область определения: все действительные числа. Область значения: от -∞ до 16.

б) Нули функции: x = 1 и x = -7

в) Промежутки знакопостоянства:

• y > 0 при x ∈ (-7; 1)
• y < 0 при x ∈ (-∞; -7) ∪ (1; +∞)

г) Промежутки возрастания и убывания:

• Функция возрастает при x ∈ (-∞; -3)
• Функция убывает при x ∈ (-3; +∞)

д) Наибольшее значение функции: 16 (в вершине параболы). Наименьшего значения не существует.

Ответ: а) Область определения: все действительные числа. Область значения: от -∞ до 16; б) x = 1 и x = -7; в) y > 0 при x ∈ (-7; 1), y < 0 при x ∈ (-∞; -7) ∪ (1; +∞); г) возрастает при x ∈ (-∞; -3), убывает при x ∈ (-3; +∞); д) Наибольшее значение: 16.