3. Постройте график функции у = - х² - 6х + 7.С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Функция y = -x² - 6x + 7 является квадратичной функцией, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вниз.

Для анализа графика, найдем вершину параболы и нули функции.

1. Вершина параболы:

   x_верш = -b / 2a = -(-6) / (2 * -1) = -3

   y_верш = -(-3)² - 6*(-3) + 7 = -9 + 18 + 7 = 16

   Вершина параболы: (-3, 16)

2. Нули функции:

   -x² - 6x + 7 = 0

   x² + 6x - 7 = 0

   D = b² - 4ac = 6² - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64

   x1 = (-6 + √64) / 2 = (-6 + 8) / 2 = 1

   x2 = (-6 - √64) / 2 = (-6 - 8) / 2 = -7

   Нули функции: x1 = 1, x2 = -7

Теперь можно ответить на вопросы:

1. a) Область определения и область значения:

   Область определения: (-∞, +∞) (все действительные числа), так как это квадратичная функция.

   Область значения: (-∞, 16] (y ≤ 16), так как ветви параболы направлены вниз, и вершина находится в точке (16).

2. б) Нули функции:

   x1 = 1, x2 = -7

3. в) Промежутки знакопостоянства:

   y > 0 при x ∈ (-7, 1)

   y < 0 при x ∈ (-∞, -7) ∪ (1, +∞)

4. г) Промежутки возрастания и убывания:

   Функция возрастает на промежутке (-∞, -3)

   Функция убывает на промежутке (-3, +∞)

5. д) Наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются:

   Наибольшее значение функции: y = 16 (в вершине параболы)

   Наименьшего значения не существует, так как функция убывает до -∞.

Ответ: a) Область определения: (-∞, +∞), Область значения: (-∞, 16]; б) x1 = 1, x2 = -7; в) y > 0 при x ∈ (-7, 1), y < 0 при x ∈ (-∞, -7) ∪ (1, +∞); г) Возрастает на (-∞, -3), убывает на (-3, +∞); д) Наибольшее значение: 16, наименьшего не существует.