22 Постройте график функции у = 41х + 71-x2-11x-30 и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Запишем функцию в виде:

$$y = 4|x + 7| - x^2 - 11x - 30$$

Рассмотрим два случая:

1. Если $$x \ge -7$$, то $$|x + 7| = x + 7$$, и функция принимает вид: $$y = 4(x + 7) - x^2 - 11x - 30$$ $$y = 4x + 28 - x^2 - 11x - 30$$ $$y = -x^2 - 7x - 2$$
2. Если $$x < -7$$, то $$|x + 7| = -(x + 7)$$, и функция принимает вид: $$y = -4(x + 7) - x^2 - 11x - 30$$ $$y = -4x - 28 - x^2 - 11x - 30$$ $$y = -x^2 - 15x - 58$$

Таким образом, график функции состоит из двух парабол.

Рассмотрим первую параболу $$y = -x^2 - 7x - 2$$. Найдем вершину параболы:

$$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-7)}{2(-1)} = -\frac{7}{2} = -3.5$$

$$y_в = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) - 2 = -12.25 + 24.5 - 2 = 10.25$$

Вершина первой параболы - $$(-3.5; 10.25)$$. Так как $$x \ge -7$$, то рассматриваем эту часть параболы.

Рассмотрим вторую параболу $$y = -x^2 - 15x - 58$$. Найдем вершину параболы:

$$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-15)}{2(-1)} = -\frac{15}{2} = -7.5$$

$$y_в = -(-7.5)^2 - 15(-7.5) - 58 = -56.25 + 112.5 - 58 = -1.75$$

Вершина второй параболы - $$(-7.5; -1.75)$$. Так как $$x < -7$$, то рассматриваем эту часть параболы.

Теперь найдем значение функции в точке стыка $$x = -7$$:

Для первой параболы: $$y(-7) = -(-7)^2 - 7(-7) - 2 = -49 + 49 - 2 = -2$$

Для второй параболы: $$y(-7) = -(-7)^2 - 15(-7) - 58 = -49 + 105 - 58 = -2$$

В точке $$x = -7$$ функция принимает значение $$y = -2$$.

Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки, если она проходит через вершину одной из парабол и точку стыка графиков.

Три общие точки будут при $$m = -2$$.

Прямая $$y = 10.25$$ будет касаться первой параболы.

Прямая $$y = m$$ пересекает график в трех точках, если $$m = -2$$

График функции:

      ^
      |
  10.25|     *   Вершина параболы 1
      |   /   \
      | /       \
  -2  |*-----------* Точка стыка
      |\       /
      | \     /
 -1.75|  \ * / Вершина параболы 2
      |    \
      +--------------------->
        -7.5 -7  -3.5    x

Ответ: -2