Известно, что около четырёхугольника ZFBM можно описать окружность, и что продолжения сторон ZM и FB четырёхугольника пересекаются в точке Д. Докажите, что треугольники DZF и DBM подобны.

Так как около четырехугольника ZFBM можно описать окружность, то сумма противоположных углов равна 180°:

$$ \angle Z + \angle B = 180^\circ $$

Рассмотрим четырехугольник DZFBM. Тогда $$ \angle DZF = 180^\circ - \angle MZF $$. Аналогично $$ \angle DBM = 180^\circ - \angle FBM $$. Тогда получаем:

$$ \angle ZFB + \angle ZMB = 180^\circ $$

Углы ZFB и ZMB являются смежными с углами DZF и DBM соответственно, поэтому:

$$ \angle DZF = 180^\circ - \angle ZFB $$ $$ \angle DBM = 180^\circ - \angle FBM $$

Получаем, что $$ \angle DZF + \angle FBM = 180^\circ$$, и $$ \angle DZF + \angle DBM = 180^\circ$$. Следовательно, $$ \angle DZF = \angle DBM $$.

Угол D - общий для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники DZF и DBM подобны по двум углам (угол D - общий и $$ \angle DZF = \angle DBM $$).