22. Постройте график функции у = + 2+2,5). Определите, при 2,5 x 2,5 X X 22,5 каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Построим график функции $$y = \frac{1}{2}(\frac{|x|}{2.5} + \frac{2.5}{x})$$ и определим, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Область определения функции:

$$x
eq 0$$

2. Рассмотрим функцию на двух промежутках:

а) Если $$x > 0$$, то $$|x| = x$$, и функция принимает вид:

$$y = \frac{1}{2}(\frac{x}{2.5} + \frac{2.5}{x}) = \frac{1}{2}(\frac{x}{\frac{5}{2}} + \frac{\frac{5}{2}}{x}) = \frac{1}{2}(\frac{2x}{5} + \frac{5}{2x})$$

б) Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и функция принимает вид:

$$y = \frac{1}{2}(-\frac{x}{2.5} + \frac{2.5}{x}) = \frac{1}{2}(-\frac{2x}{5} + \frac{5}{2x})$$

3. Исследуем функцию на промежутке $$x > 0$$:

Найдем производную:

$$y' = \frac{1}{2}(\frac{2}{5} - \frac{5}{2x^2})$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$$\frac{2}{5} - \frac{5}{2x^2} = 0$$

$$\frac{2}{5} = \frac{5}{2x^2}$$

$$4x^2 = 25$$

$$x^2 = \frac{25}{4}$$

$$x = \pm \frac{5}{2} = \pm 2.5$$

Так как мы рассматриваем промежуток $$x > 0$$, то берем только положительное значение: $$x = 2.5$$.

Найдем значение функции в этой точке:

$$y(2.5) = \frac{1}{2}(\frac{2.5}{2.5} + \frac{2.5}{2.5}) = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1$$

4. Исследуем функцию на промежутке $$x < 0$$:

Найдем производную:

$$y' = \frac{1}{2}(-\frac{2}{5} - \frac{5}{2x^2})$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$$-\frac{2}{5} - \frac{5}{2x^2} = 0$$

$$\frac{5}{2x^2} = -\frac{2}{5}$$

$$2x^2 = -\frac{25}{2}$$

$$x^2 = -\frac{25}{4}$$

Решений нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Тогда найдем значение функции при $$x=-2.5$$

$$y(-2.5) = \frac{1}{2}(-\frac{-2.5}{2.5} + \frac{2.5}{-2.5})=\frac{1}{2}(1-1) =0$$

5. Асимптоты:

Вертикальная асимптота: x = 0

Горизонтальная асимптота: y = 0

6. Построим график функции:

График состоит из двух частей:

При $$x > 0$$, это ветвь гиперболы, достигающая минимума в точке (2.5, 1).

При $$x < 0$$ , это ветвь гиперболы, приближающаяся к нулю.

7. Найдем значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку:

Прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку, когда она проходит через точку минимума (2.5, 1) или когда она совпадает с горизонтальной асимптотой y = 0.

Таким образом, m = 1 или m = 0.

Ответ: m = 0; m = 1