22. Постройте график функции у = (0,5x²+x)·|x|/ x+2. Определите, при каких значениях m прямая у = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Рассмотрим функцию $$y = \frac{(0,5x^2 + x) \cdot |x|}{x+2}$$

При $$x > 0$$: $$y = \frac{(0,5x^2 + x) \cdot x}{x+2} = \frac{0,5x^3 + x^2}{x+2} = \frac{0,5x^2(x + 2)}{x+2} = 0,5x^2$$, при $$x
eq -2$$

При $$x < 0$$: $$y = \frac{(0,5x^2 + x) \cdot (-x)}{x+2} = \frac{-0,5x^3 - x^2}{x+2} = \frac{-0,5x^2(x + 2)}{x+2} = -0,5x^2$$, при $$x
eq -2$$

Таким образом, $$y = \begin{cases} 0,5x^2, & x > 0 \\ -0,5x^2, & x < 0 \end{cases}$$, при $$x
eq -2$$

При $$x = -2$$: $$y = \frac{(0,5(-2)^2 + (-2)) \cdot |-2|}{-2+2} = \frac{(0,5 \cdot 4 - 2) \cdot 2}{0} = \frac{0}{0}$$, следовательно, в точке $$x=-2$$ функция не определена.

$$y(-2) = -0.5 \cdot (-2)^2 = -0.5 \cdot 4 = -2$$

График функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх при $$x > 0$$ и вниз при $$x < 0$$. В точке $$x = -2$$ график имеет разрыв.

Прямая $$y = m$$ не имеет общих точек с графиком функции при $$m < -2$$ и при $$m = 0$$.

      |
      |
------|------
      |      /\
      |     /  \
      |    /    \
      |   /      \
      |  /        \
      | /          \
------|/-----------\------
      |           \
      |            \
      |             \
      |              \
      |               \
      |                \
      |                 \
      |                  \
      --------------------

Ответ: $$m < -2$$ и $$m = 0$$