Пусть ABCD - трапеция, где BC и AD - основания. E - середина боковой стороны CD.
Нужно доказать, что площадь треугольника ABE равна половине площади трапеции ABCD.
Площадь трапеции ABCD выражается как:
$$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$$, где h - высота трапеции.
Проведем высоту $$h_1$$ из точки B к основанию AD и высоту $$h_2$$ из точки E к основанию AD.
Площадь треугольника ABE можно выразить как сумму площадей треугольников BCE и ADE, а также площади треугольника ABE = площади трапеции ABCD - (площадь треугольника BCE + площадь треугольника ADE).
$$S_{ABE} = S_{ABCD} - S_{BCE} - S_{ADE}$$
Площадь треугольника BCE: $$S_{BCE} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_2$$
Площадь треугольника ADE: $$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_1$$
Так как E - середина CD, то высота треугольников ADE и BCE равны половине высоты трапеции:
$$h_1 = h_2 = \frac{h}{2}$$
$$S_{BCE} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \frac{h}{2} = \frac{BC \cdot h}{4}$$
$$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{h}{2} = \frac{AD \cdot h}{4}$$
Следовательно,
$$S_{BCE} + S_{ADE} = \frac{BC \cdot h}{4} + \frac{AD \cdot h}{4} = \frac{(BC + AD) \cdot h}{4}$$
$$S_{ABE} = S_{ABCD} - (S_{BCE} + S_{ADE})$$
$$S_{ABE} = \frac{(BC + AD) \cdot h}{2} - \frac{(BC + AD) \cdot h}{4} = \frac{2(BC + AD) \cdot h - (BC + AD) \cdot h}{4} = \frac{(BC + AD) \cdot h}{4} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$
То есть, площадь треугольника ABE равна половине площади трапеции ABCD.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано