1026. Постройте график функции у = -0,5x2 + x + 1,5. При каких значениях х значение у равно нулю; больше нуля; меньше нуля? В каком промежутке эта функция возрастает и в каком промежутке убывает? Каково наибольшее значение этой функции?

Построим график функции $$y = -0.5x^2 + x + 1.5$$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный.

Найдем вершину параболы:

$$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2 \cdot (-0.5)} = 1$$ $$y_в = -0.5 \cdot 1^2 + 1 + 1.5 = -0.5 + 1 + 1.5 = 2$$

Вершина параболы: $$(1; 2)$$.

Найдем нули функции (значение $$y = 0$$):

$$-0.5x^2 + x + 1.5 = 0$$

Умножим на -2, чтобы избавиться от дроби:

$$x^2 - 2x - 3 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 2$$

$$x_1 \cdot x_2 = -3$$

$$x_1 = -1, x_2 = 3$$

Функция пересекает ось X в точках $$(-1; 0)$$ и $$(3; 0)$$.

1) Значение $$y = 0$$ при $$x = -1$$ и $$x = 3$$.

2) Значение $$y > 0$$ (больше нуля) при $$x \in (-1; 3)$$.

3) Значение $$y < 0$$ (меньше нуля) при $$x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$$.

4) Функция возрастает на промежутке $$(-\infty; 1)$$.

5) Функция убывает на промежутке $$(1; +\infty)$$.

6) Наибольшее значение функции равно 2 (в вершине параболы).

Ответ: y = 0 при x = -1 и x = 3; y > 0 при x \in (-1; 3); y < 0 при x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty); функция возрастает на промежутке (-\infty; 1); функция убывает на промежутке (1; +\infty); наибольшее значение функции равно 2.