22. Постройте график функции у = x4 - 29x2 + 100 (x - 5)(x + 2) . Определите, при каких значениях с прямая у = с имеет с графиком ровно одну общую точку.

Заметим, что $$x^4 - 29x^2 + 100 = (x^2-4)(x^2-25) = (x-2)(x+2)(x-5)(x+5)$$. Тогда

$$y = \frac{(x-2)(x+2)(x-5)(x+5)}{(x-5)(x+2)}$$

При $$x
eq 5$$ и $$x
eq -2$$ имеем

$$y = (x-2)(x+5) = x^2 + 3x - 10$$

Графиком функции является парабола с вершиной в точке $$x_0 = -\frac{3}{2}$$, $$y_0 = (-\frac{3}{2})^2 + 3(-\frac{3}{2}) - 10 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 10 = \frac{9-18-40}{4} = -\frac{49}{4} = -12.25$$

Парабола имеет две выколотые точки: при $$x = 5$$, $$y = (5-2)(5+5) = 3 \cdot 10 = 30$$ и при $$x = -2$$, $$y = (-2-2)(-2+5) = -4 \cdot 3 = -12$$.

Прямая $$y = c$$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы или через одну из выколотых точек, то есть если $$c = -12.25$$, $$c = -12$$ или $$c = 30$$.

Ответ: -12.25, -12, 30