24. Сумма оснований трапеции равна 29, а её диагонали равны 20 и 21. Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

Пусть дана трапеция ABCD, где BC||AD, BC + AD = 29, AC = 20, BD = 21.

Доказательство:

Проведем через вершину C прямую CE || BD, E лежит на продолжении AD. Тогда BCED — параллелограмм, CE = BD = 21, ED = BC. Следовательно, AE = AD + DE = AD + BC = 29.

Рассмотрим треугольник ACE. AE = 29, AC = 20, CE = 21.

Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора:

$$AE^2 = AC^2 + CE^2$$ $$29^2 = 20^2 + 21^2$$ $$841 = 400 + 441$$ $$841 = 841$$

Таким образом, треугольник ACE — прямоугольный, угол ACE = 90 градусов.

Так как CE || BD, то угол между AC и BD равен углу ACE, который равен 90 градусов.

Следовательно, диагонали трапеции перпендикулярны.

Что и требовалось доказать.