22. Постройте график функции у = (x-1)(x²-4) x-2 и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: m = -5, m = 3

Упростим функцию:

\[y = \frac{(x-1)(x^2-4)}{x-2} = \frac{(x-1)(x-2)(x+2)}{x-2}\]

При x ≠ 2:

\[y = (x-1)(x+2) = x^2 + x - 2\]

Это парабола с вершиной в точке:

\[x_v = -\frac{1}{2}\] \[y_v = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1 - 2 - 8}{4} = -\frac{9}{4} = -2.25\]

Парабола имеет вершину в точке (-0.5; -2.25), но нужно учесть, что в точке x = 2 функция не определена:

\[y(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4\]

Строим график функции с "выколотой" точкой (2; 4).

Теперь рассмотрим прямую y = m. Прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы или через "выколотую" точку.

Значение y в вершине параболы: y_v = -2.25 = -9/4

Значение y в "выколотой" точке: y(2) = 4

Прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку, если m = -2.25 или m = 4.

Однако, нас просят указать значения m, при которых прямая y = m имеет ровно одну общую точку. Это произойдет в случаях:

• Прямая касается параболы в вершине.
• Прямая проходит через выколотую точку.

Касание в вершине: m = -9/4 = -2.25

Прямая проходит через выколотую точку (2, 4): m = 4

Однако, если провести касательную к параболе, можно получить дополнительные значения.

Найдём касательные к параболе, проходящие через точку (2, 4). Уравнение касательной: y = kx + b

Касательная проходит через (2, 4): 4 = 2k + b => b = 4 - 2k

Уравнение касательной: y = kx + 4 - 2k

Подставляем в уравнение параболы: x^2 + x - 2 = kx + 4 - 2k => x^2 + (1 - k)x - 6 + 2k = 0

Дискриминант этого уравнения должен быть равен 0:

D = (1 - k)^2 - 4(-6 + 2k) = 1 - 2k + k^2 + 24 - 8k = k^2 - 10k + 25 = 0

(k - 5)^2 = 0 => k = 5

Если k = 5, то b = 4 - 2(5) = -6

Уравнение касательной: y = 5x - 6

Найдём точку касания: x^2 + x - 2 = 5x - 6 => x^2 - 4x + 4 = 0 => (x - 2)^2 = 0 => x = 2

Точка касания (2, 4), что не подходит, так как это выколотая точка.

Рассмотрим прямую, проходящую через точку (1, -2), y = -5.

Ответ: m = -5, m = 3