20. Решите систему уравнений x²+y² = 65, xy = 8.

Ответ: (1; 8), (8; 1), (-1; -8), (-8; -1)

Выразим переменную y из второго уравнения и подставим в первое уравнение:

Шаг 1: Выразим y из второго уравнения:

\[y = \frac{8}{x}\]

Шаг 2: Подставим выражение для y в первое уравнение:

\[x^2 + \left(\frac{8}{x}\right)^2 = 65\]

Шаг 3: Упростим уравнение:

\[x^2 + \frac{64}{x^2} = 65\]

Шаг 4: Умножим обе части уравнения на x²:

\[x^4 + 64 = 65x^2\]

Шаг 5: Приведем уравнение к виду квадратного относительно x²:

\[x^4 - 65x^2 + 64 = 0\]

Шаг 6: Введем замену переменной: пусть t = x²:

\[t^2 - 65t + 64 = 0\]

Шаг 7: Решим квадратное уравнение относительно t:

\[D = (-65)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 4225 - 256 = 3969\] \[t_1 = \frac{65 + \sqrt{3969}}{2} = \frac{65 + 63}{2} = \frac{128}{2} = 64\] \[t_2 = \frac{65 - \sqrt{3969}}{2} = \frac{65 - 63}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

Шаг 8: Найдем значения x, используя найденные значения t:

Если t = 64, то x² = 64, следовательно, x = ±8.

Если t = 1, то x² = 1, следовательно, x = ±1.

Шаг 9: Найдем соответствующие значения y для каждого x:

Если x = 8, то y = 8/8 = 1.

Если x = -8, то y = 8/(-8) = -1.

Если x = 1, то y = 8/1 = 8.

Если x = -1, то y = 8/(-1) = -8.

Шаг 10: Запишем все решения системы:

(8; 1), (-8; -1), (1; 8), (-1; -8).

Ответ: (1; 8), (8; 1), (-1; -8), (-8; -1)