3. Постройте график функции y = −x2 – 4х + 5. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Решение: График функции y = -x² - 4x + 5 является параболой, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при x² отрицательный. 1. Найдем вершину параболы: x₀ = -b / 2a = -(-4) / (2 * -1) = -2 y₀ = -(-2)² - 4(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 Итак, вершина параболы находится в точке (-2, 9). 2. Найдем нули функции (точки пересечения с осью x): -x² - 4x + 5 = 0 x² + 4x - 5 = 0 Используем дискриминант: D = 4² - 4 * 1 * -5 = 16 + 20 = 36 x₁ = (-4 + √36) / 2 = (-4 + 6) / 2 = 1 x₂ = (-4 - √36) / 2 = (-4 - 6) / 2 = -5 Итак, нули функции: x₁ = 1 и x₂ = -5. 3. Найдем точку пересечения с осью y: Подставим x = 0 в уравнение функции: y = -(0)² - 4(0) + 5 = 5 Итак, точка пересечения с осью y: (0, 5). Теперь на основе этих данных можно схематично нарисовать график параболы. а) Область определения и область значений: Область определения: Все действительные числа (-∞, +∞). Парабола определена для любого x. Область значений: Поскольку ветви параболы направлены вниз, максимальное значение достигается в вершине. Область значений: (-∞, 9]. б) Нули функции: Нули функции (точки пересечения с осью x): x = -5 и x = 1. в) Промежутки знакопостоянства: Функция положительна (y > 0) между нулями: -5 < x < 1. Функция отрицательна (y < 0) вне этого промежутка: x < -5 и x > 1. г) Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает на промежутке (-∞, -2]. Функция убывает на промежутке [-2, +∞). д) Наименьшее и наибольшее значения функции: Наибольшее значение функции достигается в вершине: y = 9. Наименьшего значения не существует, так как функция уходит в -∞. **Ответ:** a) Область определения: (-∞, +∞); Область значений: (-∞, 9] б) Нули функции: x = -5, x = 1 в) y > 0 при -5 < x < 1; y < 0 при x < -5 и x > 1 г) Возрастает на (-∞, -2]; Убывает на [-2, +∞) д) Наибольшее значение: y = 9; Наименьшего значения не существует