Постройте график функции y = 6x+18 / 6x²+18x и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Анализ функции:

Данная функция имеет вид \( y = \frac{6x+18}{6x^2+18x} \).
Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

\[ y = \frac{6(x+3)}{6x(x+3)} \]

При \( x
eq 0 \) и \( x
eq -3 \) функцию можно сократить:

\[ y = \frac{1}{x} \]

Таким образом, график данной функции — это гипербола \( y = \frac{1}{x} \), но с двумя выколотыми точками:

• При \( x = 0 \) функция не определена (есть вертикальная асимптота).
• При \( x = -3 \) происходит устранимый разрыв. Найдем значение \( y \) при \( x = -3 \) для графика \( y = \frac{1}{x} \): \( y = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \). Значит, точка \( (-3, -\frac{1}{3}) \) выколота.

Построение графика:

График функции \( y = \frac{1}{x} \) — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. На этом графике нужно выколоть точку \( (-3, -\frac{1}{3}) \).

Анализ прямой y = kx:

Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат \( (0, 0) \) и имеет угловой коэффициент \( k \).

Определение значений k:

Прямая \( y = kx \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции в следующих случаях:

1. Если прямая проходит через начало координат и является касательной к одной из ветвей гиперболы.
   Уравнение \( \frac{1}{x} = kx \) должно иметь ровно одно решение (кроме случая, когда \( k=0 \), тогда \( y=0 \) и точек нет).
   \[ 1 = kx^2 \]
   \[ kx^2 - 1 = 0 \]
   Для одного решения, \( k \) должно быть таким, чтобы \( x \) было равно 0, но \( x=0 \) не входит в область определения \( y = 1/x \).
2. Если прямая проходит через выколотую точку \( (-3, -\frac{1}{3}) \) и через начало координат.
   Подставим координаты выколотой точки в уравнение прямой \( y = kx \):
   \[ -\frac{1}{3} = k(-3) \]
   \[ k = \frac{-1/3}{-3} = \frac{1}{9} \].
   В этом случае прямая \( y = \frac{1}{9}x \) пройдет через начало координат и через выколотую точку \( (-3, -\frac{1}{3}) \). Таким образом, она пересечет гиперболу \( y = 1/x \) в одной точке (отличной от выколотой).
3. Если прямая является касательной к одной из ветвей гиперболы.
   Рассмотрим уравнение \( \frac{1}{x} = kx \). Оно имеет вид \( kx^2 = 1 \).
   Если \( k > 0 \), то \( x^2 = \frac{1}{k} \), \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{k}} \). Это два пересечения.
   Если \( k < 0 \), то \( x^2 = \frac{1}{k} < 0 \), действительных решений нет.
4. Рассмотрим случай, когда прямая проходит через выколотую точку.
   Прямая \( y=kx \) проходит через \( (0,0) \). Если эта прямая проходит через выколотую точку \( (-3, -1/3) \), то \( -1/3 = k(-3) \), откуда \( k = 1/9 \).
   При \( k=1/9 \), прямая \( y = \frac{1}{9}x \) имеет с графиком \( y=1/x \) две точки пересечения: \( x=3 \) и \( x=-3 \). Так как точка \( (-3, -1/3) \) выколота, остается только одна точка пересечения \( (3, 1/3) \).

Финальный ответ:

Прямая \( y = kx \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции, когда она проходит через начало координат и через выколотую точку \( (-3, -1/3) \).

Подставим координаты выколотой точки в уравнение прямой \( y = kx \):

\[ -\frac{1}{3} = k(-3) \]

\[ k = \frac{-1/3}{-3} = \frac{1}{9} \]

Другой случай, когда прямая имеет ровно одну общую точку с графиком — это когда прямая является касательной к гиперболе, но для \( y=1/x \) такое невозможно, так как \( y=kx \) всегда пересекает \( y=1/x \) в двух точках (если \( k>0 \)) или в нуле (если \( k<=0 \)) и проходит через начало координат.

Важно учесть, что прямая \( y = kx \) всегда проходит через \( (0,0) \). Для функции \( y = 1/x \) точка \( (0,0) \) не является точкой графика.

Проверим случай \( k=0 \). Тогда \( y=0 \). Уравнение \( 1/x = 0 \) не имеет решений. То есть прямая \( y=0 \) не пересекает график \( y=1/x \).

Таким образом, единственное значение \( k \), при котором прямая \( y=kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком данной функции, это когда прямая проходит через выколотую точку \( (-3, -1/3) \).

Ответ: k = 1/9