Постройте график функции $$y = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2, & \text{если } |x| \le 2 \\ \frac{4}{x}, & \text{если } |x|>2 \end{cases}$$. Определите, при каких значениях параметра $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком данной функции ровно три общих точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: Постройте график функции $y = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2, & \text{если } |x| \le 2 \\ \frac{4}{x}, & \text{если } |x|>2…$ Фото задания

Постройте график функции $$y = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2, & \text{если } |x| \le 2 \\ \frac{4}{x}, & \text{если } |x|>2 \end{cases}$$. Определите, при каких значениях параметра $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком данной функции ровно три общих точки.

Accepted Answer

Краткое пояснение: График функции состоит из двух частей: параболы $ y = \frac{1}{2}x^2 $ при $ |x| \le 2 $ и гиперболы $ y = \frac{4}{x} $ при $ |x|>2 $. Необходимо найти значения $$m$$, при которых горизонтальная линия $$y=m$$ пересекает этот график в трех точках.

Построение графика:

Часть 1: Парабола $ y = \frac{1}{2}x^2 $ при $ -2 \le x \le 2 $:
- Вершина в точке (0, 0).
- При $ x=2 $, $ y = \frac{1}{2}(2^2) = 2 $. Точка (2, 2).
- При $ x=-2 $, $ y = \frac{1}{2}(-2)^2 = 2 $. Точка (-2, 2).
- Эта часть графика — сегмент параболы, ограниченный точками (-2, 2) и (2, 2).
Часть 2: Гипербола $ y = \frac{4}{x} $ при $ |x|>2 $:
- При $ x=2 $ (предельное значение), $ y = \frac{4}{2} = 2 $.
- При $ x=-2 $ (предельное значение), $ y = \frac{4}{-2} = -2 $.
- Эта часть графика — две ветви гиперболы. Для $ x>2 $ график идет от точки (2, 2) вниз и вправо, асимптотически приближаясь к оси x. Для $ x<-2 $ график идет от точки (-2, -2) вниз и влево, асимптотически приближаясь к оси x.

Определение параметра m:

Прямая $ y=m $ — это горизонтальная линия. Чтобы она имела ровно три общих точки с графиком, нужно рассмотреть следующие случаи:

Случай 1: Линия проходит через точку пересечения параболы и гиперболы на положительной оси x. Эта точка — (2, 2). Если $ m=2 $, то прямая $ y=2 $ пересекает:
- Параболу $ y = \frac{1}{2}x^2 $ в точках (-2, 2) и (2, 2).
- Гиперболу $ y = \frac{4}{x} $ в точке (2, 2) (но эта точка не входит в область $ |x|>2 $ для гиперболы).
Таким образом, при $ m=2 $ получается две общие точки: (-2, 2) и (2, 2).
Случай 2: Рассматриваем поведение графика.
Парабола достигает максимального значения 2 при $ x = \pm 2 $.
Гипербола $ y = \frac{4}{x} $ имеет асимптоту $ y=0 $ при $ x \to ±\infty $.
При $ x \to 2^+ $, $ y \to 2 $. При $ x \to -2^- $, $ y \to -2 $.
Случай 3: Чтобы получить три точки пересечения, прямая $ y=m $ должна пересекать
- одну ветвь гиперболы (для $ x>2 $ или $ x<-2 $),
- и параболу в двух точках (при $ |x| < 2 $).
Рассмотрим положительные значения m:
- Если $ m=2 $, то две точки (-2,2) и (2,2) на параболе. Точка (2,2) на гиперболе не входит в область $ |x|>2 $.
- Если $ 0 < m < 2 $, то прямая $ y=m $ пересекает параболу в двух точках (симметрично относительно оси y) и не пересекает гиперболу.
- Если $ m > 2 $, то прямая $ y=m $ не пересекает параболу.
Рассмотрим отрицательные значения m:
- Прямая $ y=m $ может пересечь правую ветвь гиперболы $ y=\frac{4}{x} $ (где $ x>2 $, $ y>0 $) — нет.
- Прямая $ y=m $ может пересечь левую ветвь гиперболы $ y=\frac{4}{x} $ (где $ x<-2 $, $ y<0 $).
  Если $ m < -2 $, то прямая $ y=m $ пересечет левую ветвь гиперболы в одной точке.
  Парабола $ y = \frac{1}{2}x^2 $ для $ |x| < 2 $ всегда $ y ≥ 0 $, поэтому она не пересечется с $ y=m $ при $ m < -2 $.
Анализ на три точки: Чтобы получить три точки, нужно, чтобы прямая пересекала параболу в двух точках и гиперболу в одной точке. Это возможно, если линия $ y=m $ будет проходить через точки, где график функции меняет свой вид.
Точка (2, 2) — граница параболы и гиперболы.
Точка (-2, 2) — граница параболы.
График функции:
1. Сегмент параболы от (-2, 2) до (2, 2).
2. Правая ветвь гиперболы, начинающаяся от (2, 2) (не включая) и уходящая вниз к оси x.
3. Левая ветвь гиперболы, начинающаяся от (-2, -2) (не включая) и уходящая вниз к оси x.

Для трех точек пересечения:
Прямая $ y=m $ должна пересекать параболу в двух точках, а гиперболу — в одной.
Если $ m=0 $, то $ y=0 $ пересекает параболу в (0,0) (одна точка) и стремится к оси x для гиперболы (не пересекает).
Если $ m $ находится между 0 и 2, то $ y=m $ пересечет параболу в двух точках.
Если $ m=2 $, то $ y=2 $ пересечет параболу в (-2,2) и (2,2). Она также пересечет гиперболу в точке (2,2), но эта точка не входит в область $ |x|>2 $ для гиперболы.

Чтобы получить три точки, нам нужно, чтобы одна из точек пересечения с гиперболой была уникальной, а парабола давала две.
Это происходит, когда $ y=m $ проходит через точку, где начинается одна из ветвей гиперболы, и при этом пересекает параболу дважды.
Такое возможно, если $ m $ чуть меньше 2.
Рассмотрим случай, когда $ y=m $ пересекает параболу в двух точках и правую ветвь гиперболы (где $ y > 0 $). Это невозможно, так как гипербола для $ x>2 $ имеет значения $ 0 < y < 2 $.
Рассмотрим случай, когда $ y=m $ пересекает параболу в двух точках и левую ветвь гиперболы (где $ x<-2 $, $ y<0 $).
Если $ m $ отрицательное, то парабола $ y = \frac{1}{2}x^2 $ не пересекается.

Вернемся к условию: три общих точки.
Рассмотрим крайние значения:
При $ x=2 $, $ y=2 $. При $ x=-2 $, $ y=2 $.
При $ x → ∞ $, $ y → 0 $. При $ x → -∞ $, $ y → 0 $.

Для трех точек пересечения, линия $ y=m $ должна быть:
1. Ниже самой высокой точки параболы (y=2), но выше нуля, чтобы пересечь параболу дважды.
2. Пересекать одну из ветвей гиперболы.

Если $ 0 < m < 2 $, то $ y=m $ пересекает параболу в двух точках. Гипербола для $ x>2 $ имеет значения $ 0
При \( x=2 $, $ y=2 $. При $ x=-2 $, $ y=2 $.
Для $ |x|>2 $, $ y=\frac{4}{x} $.
При $ x=3 $, $ y=4/3 ≈ 1.33 $.
При $ x=4 $, $ y=1 $.
При $ x=-3 $, $ y=-4/3 ≈ -1.33 $.

Если $ m $ находится в интервале $ (0, 2) $, то линия $ y=m $ пересекает параболу в двух точках (симметрично).
Также, если $ 0 < m < 2 $, то $ y=m $ пересечет правую ветвь гиперболы $ y=4/x $ для $ x>2 $.
Например, если $ m=1 $, то $ y=1 $ пересечет параболу в $ \pm \sqrt{2} $ (две точки) и гиперболу в $ x=4 $ (одна точка). Итого 3 точки.

Таким образом, при $ 0 < m < 2 $ получаем три точки пересечения.

Ответ: При $ 0 < m < 2 $