В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.

Доказательство:

1. Шаг 1: Рассмотрим треугольник ABC. Так как он равносторонний, то \( AB = BC = CA \).
2. Шаг 2: M, N, K — середины сторон AB, BC, CA соответственно.
3. Шаг 3: Отрезок MN соединяет середины сторон AB и BC. По теореме о средней линии треугольника, \( MN \parallel AC \) и \( MN = \frac{1}{2} AC \).
4. Шаг 4: Отрезок NK соединяет середины сторон BC и CA. По теореме о средней линии треугольника, \( NK \parallel AB \) и \( NK = \frac{1}{2} AB \).
5. Шаг 5: Отрезок KM соединяет середины сторон CA и AB. По теореме о средней линии треугольника, \( KM \parallel BC \) и \( KM = \frac{1}{2} BC \).
6. Шаг 6: Так как \( AB = BC = CA \), то \( \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} BC \). Следовательно, \( MN = NK = KM \).
7. Шаг 7: Поскольку все стороны треугольника MNK равны, то треугольник MNK — равносторонний.

Доказано.