Решите уравнение $$x^2 - 2x - \sqrt{x+2} = 15 - \sqrt{x+2}$$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решите уравнение $x^2 - 2x - \sqrt{x+2} = 15 - \sqrt{x+2}$.$ Фото задания

Решите уравнение $$x^2 - 2x - \sqrt{x+2} = 15 - \sqrt{x+2}$$.

Accepted Answer

Краткое пояснение: Для решения данного уравнения необходимо упростить его, приведя к виду, где корень находится в одной части, а остальное — в другой. Затем возвести обе части в квадрат для избавления от радикала.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Перенесем члены уравнения так, чтобы корень оказался в одной части:
$ x^2 - 2x = 15 - \sqrt{x+2} + \sqrt{x+2} $
$ x^2 - 2x = 15 $
Шаг 2: Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$ x^2 - 2x - 15 = 0 $
Шаг 3: Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета:
$ x_1 + x_2 = 2 $
$ x_1 \cdot x_2 = -15 $
Подбираем корни: $ x_1 = 5 $ и $ x_2 = -3 $.
Шаг 4: Проверим полученные корни в исходном уравнении (особенно важно убедиться, что подкоренное выражение $ x+2 $ неотрицательно):
Для $ x = 5 $: $ 5^2 - 2 \cdot 5 - \sqrt{5+2} = 15 - \sqrt{5+2} $
$ 25 - 10 - \sqrt{7} = 15 - \sqrt{7} $
$ 15 - \sqrt{7} = 15 - \sqrt{7} $ (Верно)
Для $ x = -3 $: $ (-3)^2 - 2 \cdot (-3) - \sqrt{-3+2} = 15 - \sqrt{-3+2} $
$ 9 + 6 - \sqrt{-1} = 15 - \sqrt{-1} $
Выражение $ \sqrt{-1} $ не является действительным числом, значит, $ x = -3 $ — посторонний корень.

Ответ: 5