Постройте график функции $$y = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x} \right)$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Краткое пояснение:

Для построения графика функции и определения значений $$m$$, при которых прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, нам нужно исследовать свойства данной функции, найти её экстремумы и область значений.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Анализируем функцию. Данная функция является нечетной, так как \( f(-x) = \frac{1}{2} \left( \frac{-x}{3.5} + \frac{3.5}{-x} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{x}{3.5} - \frac{3.5}{x} \right) = -\frac{1}{2} \left( \frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x} \right) = -f(x) \). График функции симметричен относительно начала координат.
2. Шаг 2: Найдем производную функции для определения точек экстремума.
• \( y' = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^2} \right) \)
• Приравниваем производную к нулю: \( \frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^2} = 0 \)
• \( \frac{1}{3.5} = \frac{3.5}{x^2} \)
• \( x^2 = 3.5^2 \)
• \( x = \pm 3.5 \)
3. Шаг 3: Определяем значения функции в точках экстремума.
• При \( x = 3.5 \): \( y = \frac{1}{2} \left( \frac{3.5}{3.5} + \frac{3.5}{3.5} \right) = \frac{1}{2} (1 + 1) = 1 \). Точка минимума (для положительных x) (3.5, 1).
• При \( x = -3.5 \): \( y = \frac{1}{2} \left( \frac{-3.5}{3.5} + \frac{3.5}{-3.5} \right) = \frac{1}{2} (-1 - 1) = -1 \). Точка максимума (для отрицательных x) (-3.5, -1).
4. Шаг 4: Строим график. График функции будет иметь две ветви, симметричные относительно начала координат, с минимумом в точке (3.5, 1) и максимумом в точке (-3.5, -1). Асимптоты: ось y ( \( x=0 \)) и ось x ( \( y=0 \)).
5. Шаг 5: Определяем значения $$m$$. Прямая $$y=m$$ будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции, если она проходит через точки экстремума.

Ответ: $$m = 1$$ и $$m = -1$$