Постройте график функции \(y=\frac{2x+1}{2x^2+x}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(2x^2+x=x(2x+1)\ne0\), поэтому \(x\ne0\) и \(x\ne-\frac12\).

Упростим функцию:

\[y=\frac{2x+1}{x(2x+1)}=\frac1x,\quad x\ne0,-\frac12.\]

График — гипербола \(y=\frac1x\) с выколотой точкой при \(x=-\frac12\), то есть точкой \(\left(-\frac12,-2\right)\). Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\).

Точки пересечения с прямой \(y=kx\) удовлетворяют:

\[\frac1x=kx,\quad x\ne0.\]

\[kx^2=1.\]

При \(k\le0\) решений нет. При \(k>0\) возможны точки \(x=\pm\frac1{\sqrt{k}}\), то есть обычно две точки. Ровно одна точка получается, если одна из них является исключённой: \(-\frac1{\sqrt{k}}=-\frac12\), откуда \(\sqrt{k}=2\) и \(k=4\).

При \(k=4\) остаётся только точка \(\left(\frac12,2\right)\).

Ответ: \(k=4\).