В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника ABC.

Пусть \(AD=BE=96\). Введём координаты: \(A=(0,0)\), \(D=(96,0)\), поэтому \(C=(192,0)\). Так как \(BE\perp AD\), обозначим \(B=(96,h)\).

Поскольку \(BE\) — биссектриса, по теореме о биссектрисе:

\[\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}.\]

Из условия \(BE=96\) точка \(E=(96,0)\times\) не следует напрямую из выбранных координат; удобнее использовать условие равенства медианы и биссектрисы. Для треугольника с \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\) имеем формулу длины медианы:

\[AD^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=96^2,\]

и формулу длины биссектрисы:

\[BE^2=ac\left(1-\frac{b^2}{(a+c)^2}\right)=96^2.\]

Совместно с условием \(BE\perp AD\) получаем \(b^2=a^2+c^2\), то есть угол \(B\) прямой. Подстановка в равенства длин даёт \(a=c\). Тогда \(b=c\sqrt2\). Из \(AD=96\):

\[96^2=\frac{2(2c^2)+2c^2-c^2}{4}=\frac{5c^2}{4},\quad c=\frac{192}{\sqrt5}.\]

Следовательно, \(AB=BC=\frac{192}{\sqrt5}=\frac{192\sqrt5}{5}\), а \(AC=\frac{192\sqrt2}{\sqrt5}=\frac{192\sqrt{10}}5\).

Ответ: \(AB=BC=\frac{192\sqrt5}{5}\), \(AC=\frac{192\sqrt{10}}5\).