Постройте график функции \(y=\frac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne2\). Так как \(x-2=-(2-x)\), функция упрощается до \(y=-(x^2+1)=-x^2-1\), но точка при \(x=2\) исключена. Следовательно, график — парабола \(y=-x^2-1\) с выколотой точкой \((2,-5)\).

Точки пересечения с прямой \(y=kx\) удовлетворяют уравнению \(-x^2-1=kx\), или \(x^2+kx+1=0\), при этом \(x\ne2\).

1. Обычно ровно один корень получается при нулевом дискриминанте: \(k^2-4=0\), откуда \(k=2\) или \(k=-2\). В обоих случаях корень допустим.
2. При двух корнях один из них может оказаться исключённым значением \(x=2\). Подстановка даёт \(4+2k+1=0\), то есть \(k=-\frac52\). Тогда второй корень равен \(-\frac12\), поэтому остаётся ровно одна общая точка.

Ответ: \(k=-2\), \(k=2\) или \(k=-\frac52\).