Постройте график функции y = \(\frac{(x^2 - 4)(x + 1)}{-1 - x}\). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Упростим функцию:

\[ y = \frac{(x^2 - 4)(x + 1)}{-1 - x} = \frac{(x - 2)(x + 2)(x + 1)}{-(x + 1)} \]

При \( x \neq -1 \), мы можем сократить \( (x+1) \):

\[ y = -(x - 2)(x + 2) = -(x^2 - 4) = 4 - x^2 \]

Таким образом, график функции — это парабола \( y = 4 - x^2 \), но с выколотой точкой при \( x = -1 \).

Найдем значение \( y \) при \( x = -1 \) для параболы \( y = 4 - x^2 \):

\[ y = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 \]

Значит, график функции — это парабола \( y = 4 - x^2 \) с выколотой точкой \( (-1, 3) \).

Теперь определим, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Уравнение пересечения:

\[ kx = 4 - x^2 \]

\[ x^2 + kx - 4 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Для того, чтобы у прямой и параболы было ровно одно пересечение, дискриминант должен быть равен нулю:

\[ D = k^2 - 4(1)(-4) = k^2 + 16 \]

\( k^2 + 16 = 0 \). Это уравнение не имеет действительных решений, так как \( k^2 ≥ 0 \), следовательно \( k^2 + 16 > 0 \) всегда.

Это означает, что прямая \( y = kx \) всегда пересекает параболу \( y = 4 - x^2 \) в двух точках (или одна из точек пересечения является выколотой).

Рассмотрим случай, когда одна из точек пересечения — выколотая точка \( (-1, 3) \).

Прямая \( y = kx \) проходит через точку \( (-1, 3) \) если:

\[ 3 = k(-1) \]

\[ k = -3 \]

Проверим, что происходит при \( k = -3 \).

\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]

\( D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \)

\[ x = \frac{3 \pm 5}{2} \]

Корни: \( x_1 = \frac{3+5}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{3-5}{2} = -1 \).

При \( x = 4 \), \( y = 4 - 4^2 = 4 - 16 = -12 \). Это точка \( (4, -12) \).

При \( x = -1 \), \( y = 4 - (-1)^2 = 3 \). Но эта точка \( (-1, 3) \) выколота на графике функции.

Следовательно, при \( k = -3 \) прямая \( y = -3x \) пересекает график функции в одной точке \( (4, -12) \).

Теперь рассмотрим случай, когда прямая \( y = kx \) касается параболы, но не проходит через выколотую точку. Это происходит, когда дискриминант равен нулю, но мы уже выяснили, что \( D = k^2 + 16 \) всегда больше нуля.

Также, прямая \( y = kx \) может иметь одну общую точку, если она проходит через вершину параболы \( (0, 4) \). В этом случае \( 4 = k \cdot 0 \), что невозможно.

Таким образом, единственное значение \( k \), при котором прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции, это \( k = -3 \).

Ответ: k = -3.