Постройте график функции $y=\frac{|x|-4}{x^2-4|x|}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не будет иметь с построенным графиком ни одной общей точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: Постройте график функции $y=\frac{|x|-4}{x^2-4|x|}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не будет…$ Фото задания

Постройте график функции $y=\frac{|x|-4}{x^2-4|x|}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не будет иметь с построенным графиком ни одной общей точки.

Accepted Answer

Область определения: $|x|\ne 0,2$, то есть $x\ne -2,0,2$.

Преобразуем функцию: \[y=\frac{|x|-4}{|x|(|x|-4)}=\frac1{|x|},\qquad |x|\ne 0,2,4.\] Поэтому график состоит из двух ветвей $y=\frac1{|x|}$ с выколотыми точками при $x=\pm2$ и $x=\pm4$.

Для общей точки с прямой $y=kx$: \[kx=\frac1{|x|}.\] При $x>0$: $kx=\frac1x$, поэтому $k=\frac1{x^2}>0$. При $x<0$: $kx=-\frac1x$, поэтому $k=-\frac1{x^2}<0$.

Для любого $k>0$ или $k<0$ решение существует, кроме случаев, когда единственная соответствующая точка является выколотой. При $k=\frac14$ получаем $x=2$, а при $k=\frac1{16}$ — $x=4$; аналогично для отрицательных значений: $k=-\frac14$ и $k=-\frac1{16}$.

При $k=0$ общих точек нет, так как $y=\frac1{|x|}>0$.

Ответ: $k\in\{0,-\frac14,-\frac1{16},\frac1{16},\frac14\}$.

Постройте график функции \(y=\frac{|x|-4}{x^2-4|x|}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) не будет иметь с построенным графиком ни одной общей точки.

Ответ: