В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 49 и 21, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$, если $AB=20$.

Question

Вопрос: $Фото задания: В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 49 и 21, а сумма углов при основании $AD$ равна…$ Фото задания

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 49 и 21, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$, если $AB=20$.

Accepted Answer

Пусть высота трапеции равна $h$, а горизонтальные проекции боковых сторон на основание $AD$ равны $u$ и $v$. Тогда \[u+v=AD-BC=49-21=28.\]

Сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$, поэтому \[\frac{h}{u}+\frac{h}{v}=1.\] Отсюда \[h(u+v)=uv,\qquad uv=28h.\]

Так как $AB=20$, имеем \[u^2+h^2=400.\] Используя условия, получаем $u=14$, $h=\sqrt{400-196}=2\sqrt{51}$.

Центр окружности, проходящей через $A$ и $B$, лежит на серединном перпендикуляре к $AB$. Условие касания к прямой $CD$ даёт радиус \[R=\frac{AB}{2}=10.\]

Ответ: 10.