Постройте график функции \(y=x^2-11x-2|x-5|+30\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль по определению:

\[y=\begin{cases}x^2-9x+20=(x-4)(x-5),&x\leq 5,\\x^2-13x+40=(x-5)(x-8),&x\geq 5.\end{cases}\]

Левая ветвь — часть параболы с вершиной \((4.5,-0.25)\); правая ветвь имеет вершину \((6.5,-2.25)\). В точке \((5,0)\) ветви соединяются.

При \(m=-0.25\) горизонтальная прямая касается левой ветви в её вершине и пересекает правую ветвь ещё в двух точках. При \(m=0\) пересечения имеют абсциссы \(4,5,8\). В остальных случаях число пересечений не равно трём.

Ответ: \(m=-\frac14\) или \(m=0\).