Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $N$ соответственно. Известно, что $AB=9$, $BC=12$, $AC=18$, $AK=5$, $CN=9$. Найдите длину отрезка $KN$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $N$ соответственно. Известно, что $AB=9$,…$ Фото задания

Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $N$ соответственно. Известно, что $AB=9$, $BC=12$, $AC=18$, $AK=5$, $CN=9$. Найдите длину отрезка $KN$.

Accepted Answer

Так как $K$ лежит на $AB$, а $N$ — на $BC$, получаем $BK=AB-AK=9-5=4$ и $BN=BC-CN=12-9=3$.

Найдём косинус угла $B$ по теореме косинусов в треугольнике $ABC$:

\[\cos B=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{81+144-324}{216}=-\frac{11}{24}.\]

В треугольнике $KBN$ угол $KBN$ равен углу $ABC$. По теореме косинусов:

\[KN^2=BK^2+BN^2-2\cdot BK\cdot BN\cos B=16+9-24\left(-\frac{11}{24}\right)=36.\]

Значит, $KN=6$.

Ответ: 6.

Прямая пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) в точках \(K\) и \(N\) соответственно. Известно, что \(AB=9\), \(BC=12\), \(AC=18\), \(AK=5\), \(CN=9\). Найдите длину отрезка \(KN\).

Ответ: