Сторона \(AD\) параллелограмма \(ABCD\) вдвое больше стороны \(AB\). Точка \(G\) — середина стороны \(AD\). Докажите, что \(BG\) — биссектриса угла \(ABC\).

Обозначим через \(E\) середину стороны \(BC\). В параллелограмме \(BC=AD\), поэтому \(BE=\frac{BC}{2}=\frac{AD}{2}=AB\). Также \(AG=\frac{AD}{2}=BE\), причём \(AG\parallel BE\).

Следовательно, четырёхугольник \(BAGE\) — параллелограмм: одна пара его противоположных сторон \(AG\) и \(BE\) равна и параллельна. Так как соседние стороны \(AB=BE\), этот параллелограмм является ромбом.

Диагональ ромба \(BG\) делит угол при вершине \(B\) пополам. Точка \(E\) лежит на стороне \(BC\), поэтому \(\angle ABE=\angle ABC\). Значит, \(BG\) — биссектриса угла \(ABC\).