Постройте график функции: \( y = x^2 - 2x - 3 \)

Решение:

Для построения графика квадратичной функции \( y = x^2 - 2x - 3 \) найдем ключевые точки.

1. Вершина параболы:
• Координата \( x_в \) находится по формуле \( x_в = -\frac{b}{2a} \). В нашем случае \( a=1, b=-2 \), поэтому:
• \( x_в = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \)
• Найдем соответствующую координату \( y_в \), подставив \( x_в = 1 \) в уравнение функции:
• \( y_в = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \)
• Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (1, -4) \).
2. Точки пересечения с осью Ox:
• Для этого приравняем \( y \) к нулю: \( x^2 - 2x - 3 = 0 \).
• Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).
• \( x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)
• \( x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)
• Точки пересечения с осью Ox: \( (-1, 0) \) и \( (3, 0) \).
3. Точка пересечения с осью Oy:
• Для этого подставим \( x = 0 \) в уравнение функции:
• \( y = (0)^2 - 2(0) - 3 = -3 \)
• Точка пересечения с осью Oy: \( (0, -3) \).
4. Направление ветвей:
• Так как коэффициент \( a = 1 > 0 \), ветви параболы направлены вверх.

Теперь на основе этих точек построим график.

Ответ: график функции \( y = x^2 - 2x - 3 \) — парабола с вершиной в точке \( (1, -4) \), ветвями, направленными вверх, пересекающая оси Ox в точках \( (-1, 0) \) и \( (3, 0) \), и ось Oy в точке \( (0, -3) \).