Упростить выражение и найти его значение: \(\frac{a^{-9}}{a^{-2} \cdot a^{-5}},\) при \( a = \frac{1}{2}.\)

Решение:

Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней.

В знаменателе степени с одинаковым основанием умножаются, значит, показатели степеней складываются:

\[ a^{-2} \cdot a^{-5} = a^{-2 + (-5)} = a^{-7} \]

Теперь подставим это обратно в дробь:

\[ \frac{a^{-9}}{a^{-7}} \]

При делении степеней с одинаковым основанием показатели степеней вычитаются:

\[ a^{-9 - (-7)} = a^{-9 + 7} = a^{-2} \]

Теперь найдем значение выражения при \( a = \frac{1}{2} \):

\[ a^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \]

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и возвести в положительную степень:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = \left(2\right)^{2} = 4 \]

Ответ: 4.